निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,int_{ | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(2 \log \sin x - \log \sin 2x) dx$.$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:$I = \int_{0}^{\frac{\pi

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$-\frac{\pi}{2} \log 2$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(2 \log \sin x - \log \sin 2x) dx$.$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \{2 \log \sin x - \log (2 \sin x \cos x)\} dx$$\log(abc) = \log a + \log b + \log c$ का उपयोग करने पर:$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \{2 \log \sin x - (\log 2 + \log \sin x + \log \cos x)\} dx$$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\log \sin x - \log \cos x - \log 2) dx$ ...... $(1)$$\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\log \cos x - \log \sin x - \log 2) dx$ ...... $(2)$$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\log \sin x - \log \cos x - \log 2 + \log \cos x - \log \sin x - \log 2) dx$$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (-2 \log 2) dx$$2I = -2 \log 2 [x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$$2I = -2 \log 2 (\frac{\pi}{2})$$2I = -\pi \log 2$$I = -\frac{\pi}{2} \log 2$.

निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(2 \log \sin x-\log \sin 2 x) d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x + \tan x} \,dx = $

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos^{\frac{3}{2}} x}{\cos^{\frac{3}{2}} x + \sin^{\frac{3}{2}} x} \, dx = $ . . . . . . .

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मान लीजिए कि $f$ और $g$ अंतराल $[0, a]$ पर सतत फलन हैं,इस प्रकार कि $f(x)=f(a-x)$ और $g(x)+g(a-x)=4$,तो $\int_0^a f(x) g(x) d x$ का मान क्या होगा?

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